Координаты центра масс ГО, переходной системы и ПН для РКН Ангара-1.2

[Бертикъ]

А вот у меня есть подозрение, что данное равенство справедливо для любых четырехугольников, в том числе и неправильных)))

Я исходил из простой логики. У всех четырех четырехугольника есть общая вершина, у всех есть две "внешних" стороны равных между собой. В предельном случае все четырехугольники равны между собой(когда общая вершина в геометрическом центре). Двигая общую вершину мы увеличиваем, например, площадь одного и уменьшаем площади других. В этих условиях сумма площадей самого большого и самого маленького четырехугольника должна быть равна половине общей площади. Соответственно сумма площадей второй пары четырехугольника тоже даёт половину общей площади.
Имху

Ага, я подумал примерно так. Но т.к. с геометрией у меня не особо, чтобы вывести общий закон, я проверил визуально на примере прямоугольной трапеции. И прокатило)))) Вот и подумал - скорее всего это действует и для всех четырехугольников.
После этого нашел в вики статью про свойства четырехугольников (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA), и там дофига всякого, в чем мне уже не разобраться. Может кто-то из геометров осилит и найдет полезное.

[ExDi]

А вот у меня есть подозрение, что данное равенство справедливо для любых четырехугольников, в том числе и неправильных)))

..и это действительно так..  - ыыы в мои планы на сегодня разбираться с докзательством не входит ; )Вы не можете просматривать это вложение.
любые перемещения вершин и точки О соотношение не меняют

[cross-track]

После этого нашел в вики статью про свойства четырехугольников (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%80%D1%91%D1%85%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA), и там дофига всякого, в чем мне уже не разобраться. Может кто-то из геометров осилит и найдет полезное.

Добавлю ссылку на ангийскую вики про свойства четырехугольников
https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral

Там, в свою очередь, есть ссылка на  Varignon's theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Varignon%27s_theorem
Красная фигура - параллелограмм для любого четырехугольника, и ее площадь равна половине площади этого четырехугольника

Area(EFGH) = (1/2)Area(ABCD)

[ExDi]

Красная фигура - параллелограмм для любого четырехугольника, и ее площадь равна половине площади этого четырехугольника

аха, это вроде сразу следует из подобия треугольников на диагоналях четырехугольника и половинок сторон.
... тогда дальнейшее доказательство  вроде бесхитростно, аналогично ромбу..
..или не совсем ; )))

[cross-track]

Красная фигура - параллелограмм для любого четырехугольника, и ее площадь равна половине площади этого четырехугольника

а, ну тогда дальнейшее доказательство  вроде бесхитростно, аналогично ромбу..
..или не совсем ; )))

Надо думать). Стороны параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, кстати.

[ExDi]

Надо думать). Стороны параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, кстати.

дада, там треугольники подобны, большой и "верхний" в нем
не, все просто, только чуть сложнее. щаззз..

[ExDi]

Вы не можете просматривать это вложение.
из подобия треугольников / параллельности оснований следует равенство высот "верхнего" и "нижнего" в каждом из четырехугольников, верхний при коэффициенте подобия к большому 1:2 имеет площадь 1/4 от него, а пара - половину. две половинки площади больших треугольников с общим основанием-диагональю (пунктир) имеют площадь в половину полной фигуры, то же для второй диагонали
Вы не можете просматривать это вложение.
дальше как обычно - начинаем точку О произвольно двигать вместе с построенными через нее высотами к сторонам параллелограмма..

[cross-track]

дальше как обычно - начинаем точку О произвольно двигать вместе с построенными через нее высотами к сторонам параллелограмма..

Насколько я вижу из рисунков (как всегда - отличные!), для параллелограмма довольно очевидно, что суммы площадей противоположных треугольников равны при любом положении узла (т.к. сумма соответствующей пары высот не меняется при сдвиге узла, а основание не меняется). Остается показать, что суммы площадей противоположных треугольников у вершин четырехугольника тоже равны. Наверное, это тоже очевидно, но хочется найти простое обоснование)

[ExDi]

суммы площадей противоположных треугольников у вершин четырехугольника тоже равны.

они не равны вроде, но их сумма равна четверти полной фигуры ; )
или вы про треугольники которые составляют "маленькие" четырехугольники? они не "равны" - но равноплощадны, да, т.к. у них одинаковые высоты (ha-ha' и т.д.) и общее основание

[cross-track]

суммы площадей противоположных треугольников у вершин четырехугольника тоже равны.

они не равны вроде, но их сумма равна четверти полной фигуры ; )

конечно не равны, я писал про сумму пары противоположных треугольников (у вершин четырехугольника A,B,C,D). Если их сумма площадей равна четверти полной фигуры, то это решает задачу. а откуда следует про четверть?

[ExDi]

Если их сумма площадей равна четверти полной фигуры, то это решает задачу. а откуда следует про четверть?

маленький верхний треугольник (KBL и т.д.)  находится в соотношении подобия с большим диагональным (ABC и т.д.) из-за соотношения сторон 1:2, соответственно и высот, а площади 1:4
Вы не можете просматривать это вложение.
равноплощадные треугольники залиты близкими цветами, каждый - четверть большого диагонального, в который он входит

[cross-track]

маленький верхний треугольник находится в соотношении подобия с большим диагональным из-за соотношения сторон 1:2, соответственно и высот, а площади 1:4
равноплощадные треугольники залиты близкими цветами, каждый - четверть большого диагонального, в который он входит

маленький верхний треугольник - это KBL, а соотношение подобия - с большим диагональным ABC?
Ага, уже вижу, что это так.

[cross-track]

А откуда следует, что площадь треугольника ABC равна половине площади всей фигуры?

[ExDi]

ага, я сразу когда вы показали Varignon's theorem - подумал что из общего угла и подобия двух сторон следует подобие треугольников, и отсюда ее доказательство

[ExDi]

А откуда следует, что площадь треугольника ABC равна половине площади всей фигуры?

не следует никак, но вместе с ADC, для которого справедливо все то же самое, они составляют полную фигуру, а их четвертинки-половинки соответственно дают в сумме четверть или половину полной фигуры

[cross-track]

А откуда следует, что площадь треугольника ABC равна половине площади всей фигуры?

не следует никак, но вместе с ADC они составляют полную фигуру, а их четвертинки-половинки соответственно дают в сумме четверть или половину полной фигуры

Да, согласен, в сумме получается то, что надо. 
Вероятно, отдельно нужно еще посмотреть случай, когда узловая точка выходит за границу параллелограмма. Но это факультативно.

[ExDi]

Вероятно, отдельно нужно еще посмотреть случай, когда узловая точка выходит за границу параллелограмма.

на первый взгляд все нормально, тогда например вместо ha+hc=const будет hc-ha = const, но соответственно площадь треугольника NOK с высотой ha будет вычитаться из площади NAK вместо того чтобы с ней складываться - и общая сумма останется прежней

[cross-track]

Вероятно, отдельно нужно еще посмотреть случай, когда узловая точка выходит за границу параллелограмма.

на первый взгляд все нормально, тогда например вместо ha+hc=const будет hc-ha = const, но соответственно площадь треугольника NOK с высотой ha будет вычитаться из площади NAK вместо того чтобы с ней складываться - и общая сумма останется прежней

Да, сомнений нет, что решение не изменится, и алгебраически все правильно. Вот геометрическое красивое решение может несколько усложниться, но это не принципиально.
Я не думал, что этот вывод справедлив для произвольного четырехугольника. Красота!)

[ExDi]

Вы не можете просматривать это вложение.
так ваша сабжевая задачка выглядит круче : )
все площади подобраны больменее честно-близко - при том что на глаз это совершенно неочевидно (q2,q3,q4,q5 на снимке экрана)
Вы не можете просматривать это вложение.

..подумал что выражение для координат центральной точки, обеспечивающей разбиение в заданных соотношениях, вроде должно получиться линейным и не особо сложным
..а, ну да, достаточно соответствующую диагональ поделить в таком отношении

[cross-track]

так ваша сабжевая задачка выглядит круче : )

Это уже олимпиадная задачка!) Нужно только пометить штрихами половины сторон, чтобы определить, что лучи выходят из середин отрезков.
Кстати, в "моей" задаче все половинки сторон были равными, а в "вашей" - только пары половинок одинаковы.