Вероятности событий

[Serge V Iz]

А в конвертах и редуцировать не надо. Сразу фигня какая-то получается. )

[opinion]

Известная задача о трех дверях. Вот уж где были битвы! И опыты ставили! 

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

В этой проще. Игрок действительно получает полезную информацию. 

Ничего он не получает (т.е. никакой новой информации). Если ведущий гарантированно открывает пустую дверь.

Как раз, если ведущий гарантированно открывает пустую дверь (это пропущено в условии) информация для игрока есть. Если ведущий имеет право открыть дверь с призом - информации нет и вероятность выиграть поменявшись такая же, как и отказавшись от обмена.

Забавно, что во втором случае (если ведущий может открыть дверь с призом) задача почти сводится к парадоксу двух конвертов.

[Вернер П.]

Известная задачка из тервера: монету подбросили 99 раз и 99 раз выпал орел; какова вероятность выпадения орла в сотом бросании? 

С точки зрения теорвера вероятность будет 0.5, именно вероятность выпадания орла, а не вероятность серии из 100 орлов. С точки зрения так сказать интуитивного теорвера, вероятность выпадания орла будет 0.999 или около того, потому как скорее всего эксперимент не настоящий, на монете два орла или еще какой нибудь чит.

Обычно как раз интуиция подсказывает что теперь то уж точно должна выпасть решка.
А то что люди пускаются в рассуждения про инженерные задачи (уважаемый Feol) и про подвохи, как раз подтверждает что интуиция "не согласна" с вероятностью 0,5.

[Вернер П.]

В институте профессор математики как-то раз протестировал на понимание теорвера:
всего лишь попросил разложить 6!=...
Оказалось мало кто понимает, я в том числе.
 

[Вернер П.]

99% написали 6!=1*2*3*4*5*6
Эти "не понимают"

[Виктор Кондрашов]

Известная задача о трех дверях. Вот уж где были битвы! И опыты ставили! 

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

В этой проще. Игрок действительно получает полезную информацию. 

Ничего он не получает (т.е. никакой новой информации). Если ведущий гарантированно открывает пустую дверь.

Как раз, если ведущий гарантированно открывает пустую дверь (это пропущено в условии) информация для игрока есть. Если ведущий имеет право открыть дверь с призом - информации нет и вероятность выиграть поменявшись такая же, как и отказавшись от обмена.

Забавно, что во втором случае (если ведущий может открыть дверь с призом) задача почти сводится к парадоксу двух конвертов.

А по-моему, это уже казуистика. Если рассматривать это как одну игру, тогда открытие ведущим двери можно рассматривать как информацию. Если же рассматривать открытие двери ведущим, как сигнал к смене правил (и, следовательно, началу новой игры), то информации нет. Старая игра закончилась, начинается новая.
И не имеет значения - открывает ли дверь ведущий наобум или заведомо пустую. Если ведущий поймал приз, игра просто заканчивается (игрок проиграл). Если же открытая дверь пустышка, то начинается новая игра. В которой следует поменять свой изначальный выбор (потому что высока вероятность, что он был неправильным).

[Serge V Iz]

В институте профессор математики как-то раз протестировал на понимание теорвера:
всего лишь попросил разложить 6!=...
Оказалось мало кто понимает, я в том числе.
 

Про вероятности в многомерном пространстве. Известная задача про муравьев на треугольнике.

Три муравья сидят в вершинах треугольника. В один прекрасный момент все трое снимаются с места и ползут, каждый, по случайно выбранной стороне.
Вы не можете просматривать это вложение.
Известно, что вероятность того, что муравьи при переползании не столкнутся друг с другом ("по кругу поползут") равна ¹/₄.

А чему равна эта вероятность в трёхмерном пространстве, когда они ползут по рёбрам "пирамидки Рубика"?

А в четырехмерном? Вот эскиз четырехмерной пирамидки на двумерном листе:
Вы не можете просматривать это вложение.

(В многомерных случаях приползание в одну вершину тоже считаем столкновением)

[Serge V Iz]

99% написали 6!=1*2*3*4*5*6
Эти "не понимают"

Я тоже нихрена не понял, поэтому 6! = 6 * (6-1)! 

[ExDi]

всего лишь попросил разложить 6!=...
Оказалось мало кто понимает, я в том числе.

честно говоря тоже не понял. про "разложить" рефлекторная реакция - по простым множителям, 4 двойки, 2 тройки, пятерка - но статистики в этом не усматриваю. если имеетсмя в виду любое разложение на множители - то подойдет любая группировка вышеозначенных простых множителей, в т.ч. та которая соответствует определению факториала; статистики в этом все еще не вижу. вот только если "найти число разложений" - то элементы статистического подхода появляются, но по-моему такая трактовка исходной формулировки задания сродни "..а я, доктор, всегда об этом думаю.."

[Вернер П.]

"те кто понимают" (С) раскладывают так: 6!=6*5*4*3*2*1

[opinion]

Если рассматривать это как одну игру

Это две игры с разными правилами. В одной ведущий может открывать только двери без приза. В этом случае при выборе оставшейся двери вероятность выиграть увеличивается. В другой игре ведущий может открыть любую дверь, в том числе, с призом. В этом случае, если ведущий открыл дверь без приза, вероятность выиграть при выборе оставшейся двери равна 1/3.

[Виктор Кондрашов]

Если рассматривать это как одну игру

Это две игры с разными правилами. В одной ведущий может открывать только двери без приза. В этом случае при выборе оставшейся двери вероятность выиграть увеличивается. В другой игре ведущий может открыть любую дверь, в том числе, с призом. В этом случае, если ведущий открыл дверь без приза, вероятность выиграть при выборе оставшейся двери равна 1/3.

Почему? Изначально игрок сделал выбор с вероятностью успеха 1/3. Ведущий открыл наобум дверь - оказалась без приза. Первоначальная вероятность (если не менять выбора) осталась прежней. Если поменять дверь, то это равносильно новой игре - т. е. вероятность 1/2.
Давайте так: игрок не знает - специально ведущий открыл "пустую" дверь, или так получилось. Что делать игроку? 

[Serge V Iz]

Если рассматривать это как одну игру

Это две игры с разными правилами. В одной ведущий может открывать только двери без приза. В этом случае при выборе оставшейся двери вероятность выиграть увеличивается. В другой игре ведущий может открыть любую дверь, в том числе, с призом. В этом случае, если ведущий открыл дверь без приза, вероятность выиграть при выборе оставшейся двери равна 1/3.

Почему? Изначально игрок сделал выбор с вероятностью успеха 1/3. Ведущий открыл наобум дверь - оказалась без приза. Первоначальная вероятность (если не менять выбора) осталась прежней. Если поменять дверь, то это равносильно новой игре - т. е. вероятность 1/2.
Давайте так: игрок не знает - специально ведущий открыл "пустую" дверь, или так получилось. Что делать игроку?

Пользоваться информацией о том, что за открытой ведущим дверью ничего нет. Вот если бы ведущий выбрал дверь, но не открывал...

[opinion]

Ведущий открыл наобум дверь - оказалась без приза. Первоначальная вероятность (если не менять выбора) осталась прежней. Если поменять дверь, то это равносильно новой игре - т. е. вероятность 1/2.

Как я выше написал, если ведущий открыл дверь наобум и за ней ничего нет, то вероятности выиграть при выборе одной из оставшихся дверей равны.

Давайте так: игрок не знает - специально ведущий открыл "пустую" дверь, или так получилось. Что делать игроку?

Это уже байесианство какое-то пошло . Вероятности не зависят от того, что о них думает игрок.

[Виктор Кондрашов]

Ведущий открыл наобум дверь - оказалась без приза. Первоначальная вероятность (если не менять выбора) осталась прежней. Если поменять дверь, то это равносильно новой игре - т. е. вероятность 1/2.

Как я выше написал, если ведущий открыл дверь наобум и за ней ничего нет, то вероятности выиграть при выборе одной из оставшихся дверей равны.

Давайте так: игрок не знает - специально ведущий открыл "пустую" дверь, или так получилось. Что делать игроку?

Это уже байесианство какое-то пошло . Вероятности не зависят от того, что о них думает игрок.

Начал писать ответ с возражением, и понял, что был неправ.
Старый, ау! Учись (у меня) признавать ошибки! 

[pignus]

Обычно как раз интуиция подсказывает что теперь то уж точно должна выпасть решка.
А то что люди пускаются в рассуждения про инженерные задачи (уважаемый Feol) и про подвохи, как раз подтверждает что интуиция "не согласна" с вероятностью 0,5.

Интуиция штука адаптивная. Что она подскажет в примере с монетой брошенной 100 раз зависит, так сказать, от того, продаёте вы или покупаете. То есть от обстановки вокруг эксперимента.
Если бросает монету фокусник или например робот, то логично подумать что он умеет так бросать монету чтобы выпадал орёл всегда, хоть 100 раз хоть 1000. Если вы бросаете монету сами... Ну тут могут быть разные варианты, либо это такая крайне редкая серия, и действительно на следующем броске будет орел с той же вероятностью 0.5 или что-то не так с монетой. Тогда вероятность вообще сложно представить.

[Serge V Iz]

...
То есть от обстановки вокруг эксперимента.
Если бросает монету фокусник или например робот, то логично подумать что он умеет так бросать монету чтобы выпадал орёл всегда, хоть 100 раз хоть 1000. Если вы бросаете монету сами... Ну тут могут быть разные варианты, либо это такая крайне редкая серия, и действительно на следующем броске будет орел с той же вероятностью 0.5 или что-то не так с монетой. Тогда вероятность вообще сложно представить.

В общехилософских чертах, с пиросредствами метеороидами конвертами то же самое 

[Дем]

действительно на следующем броске будет орел с той же вероятностью 0.5 или что-то не так с монетой. Тогда вероятность вообще сложно представить.

Тогда считаем вероятность вероятности

[Вернер П.]

Тогда считаем вероятность вероятности

Амплитуду вероятности

[opinion]

действительно на следующем броске будет орел с той же вероятностью 0.5 или что-то не так с монетой. Тогда вероятность вообще сложно представить.

Тогда считаем вероятность вероятности

То есть всякие сигмы и доверительные интервалы. Какова вероятность того, что матожидание некоего случайного процесса совпадает с предсказаниями модели?