Вероятности событий

[cross-track]

это круче чем пресловутая задачка о трех дверях; вообще не интуитивно. воистину "заткнись и считай"

да, это очень богато-идейная задачка. Я это понимаю через разбиение на циклические цепочки (типа подгруппы полной группы). Если есть какая-то замкнутая цепочка, то узник, номер которой попадает в номера этой цепочки, "обречен" на то, что он найдет ящик со своим номером, не выходя из этой цепочки. И тогда будет совсем другая статистика для вероятности нахождения "своего" номера. Просто блестящая задача.

угу, и поскольку цепочки не могут пересекаться - может быть только одна цепочка длиннее чем 50, и задачка сводится к нахождению вероятности того, что такая "смертельная" цепочка наличествует. отсюда очевиден и вариант с "адвокатом" - ему нужно найти и разорвать эту единственную цепочку

да, и поэтому при подсчете вероятности находят вероятность противоположного события, т.е.  вероятность того, что может быть только одна цепочка длиннее чем 50, а затем просто от 1 отнимают полученную вероятность. При этом отпадает необходимость заморачиваться с учетом распределением малых цепочек с длиной меньше 50.

И еще интересен вариант задачи, когда любой заключенный, узнавший свой номер, оказывается на свободе. Тогда ожидаемая вероятность выживания человека при случайной перестановке без стратегии и со стратегией одна и та же (!), и равна 0.5. Однако, хотя мы получаем те же самые ожидаемые значения, они из очень разных распределений. При второй стратегии некоторые заключенные просто обречены умереть или жить при определенной перестановке, а при первой стратегии (т. е. без стратегии) существует "действительно" 1/2 шанса для каждой перестановки. Другими словами, в обоих случаях шанс выжить одинаков, но в первом случае это совершенно случайный процесс, а во втором случае - частично случайный, с некоторой степенью предопределенности, зависящей от того, как Начальник Тюрьмы в самом начале расставит номера по ящикам (т.е. как именно будут построены цепочки). В общем, многое, хоть и не все, зависит от воли Создателя!

[Олег]

Вчера было 4 запуска, если считать по UTC.
Предположим, что запуски - пуассоновский поток событий ( хотя НАСА и РК конечно так не считают ).
Пусть этот поток устоявшийся с 01.01.2023 года ( ясно, что не с 04.10.1957 ).
Тогда за 788 дней было 520 запусков, λ = 520/788.
Вероятность 4 запусков за 1 день p(4) = 0.00408

[ExDi]

Вероятность 4 запусков за 1 день p(4) = 0.00408

это много или мало?
если вероятность того, что этого не случится для каждого дня (1-0.00408), то вероятность того, что не случится ни разу за год (1-0.00408)^365=0.23, т.е. с вероятностью 77% это должно происходить каждый год, а раз в три года 99%

[Олег]

это много или мало?

Как посмотреть. 0.00408 ~= 1/245
В среднем такое может происходить раз в 245 дней ( =4) или раз в 213 дней (>=4) .
Спасибо Маску.

[cross-track]

По этому пуассоновскому распределению функция вероятности в 0-й точке равна 0.52. Т.е. в среднем пуски совершались через день (каждый второй день - свободный от пусков).

[cross-track]

Набираем в пригорошню много монет, подбрасываем их вверх, и делаем фотографию, когда все монеты в полете. Вопрос: какая часть монет будет скорее горизонтальной, а какая - скорее вертикальной?

[Олег]

Вопрос: какая часть монет будет скорее горизонтальной, а какая - скорее вертикальной?

- это надо определить закон распределения монет по "наклонениям" - углам отн. гориз. плоскости. Возможные значения пусть будут 0 .. 180 ( если учитывать  сторону О-Р). Пока непонятно - равномерное или нет.
- чисто философски - горизонтальная плоскость - одна, вертикальных - ∞

[ExDi]

Набираем в пригорошню много монет, подбрасываем их вверх, и делаем фотографию, когда все монеты в полете. Вопрос: какая часть монет будет скорее горизонтальной, а какая - скорее вертикальной?

интуитивно - статистически "скорее горизонтальна"  вроде будет треть, ввиду распределения вращения по трем степеням свободы можно предположить равновероятной преобладание площади проекции на каждую из трех координатных плоскостей, но в реальности мне кажется большинство монет получат момент вращения пои броске вокруг одной общей оси, и тогда близко к пополаму

[cross-track]

Набираем в пригорошню много монет, подбрасываем их вверх, и делаем фотографию, когда все монеты в полете. Вопрос: какая часть монет будет скорее горизонтальной, а какая - скорее вертикальной?

интуитивно - статистически "скорее горизонтальна"  вроде будет треть, ввиду распределения вращения по трем степеням свободы и соответственно предполагая равновероятной преобладание площади проекции на каждую из трех координатных плоскостей, но в реальности мне кажется большинство монет получат момент вращения пои броске вокруг одной общей оси, и тогда близко к пополаму

В реальности - это к физикам, а эдесь раздел для математиков). Так что моментом инерции пренебрегаем, и принимаем полную рандомизацию.
Насчет того, что "скорее горизонтальна"  вроде будет треть согласен, вернее думаю, что будет чуть меньше трети. Я решал не через степени свободы, а через объемы сферических секторов, и рассматривал распределение осей дисков по сфере.

[ExDi]

Так что моментом инерции пренебрегаем, и принимаем полную рандомизацию.

угу, но физический аспект - то, что при броске снизу вверх заселенность степени свободы, связанной с вращением вокруг оси z, будет ниже - мне тоже кажется вероятным и занятным ; )

[Олег]

Для проверки можно посмотреть распределение наклонений орбит компонент двойных звезд. Они считаются от картинной плоскости.
Если есть где-то легкоусвояемая база данных по ним.

Тела Солн. системы и ИСЗ не годятся. У них плоскости неравномерно распределены.

[cross-track]

Так что моментом инерции пренебрегаем, и принимаем полную рандомизацию.

угу, но физический аспект - то, что при броске снизу вверх заселенность степени свободы, связанной с вращением вокруг оси z, будет ниже - мне тоже кажется вероятным и занятным ; )

Да с этим я тоже согласен, и еще могу добавить что можно броски совершать в космосе в невесомости гайками Джанибекова)

[cross-track]

Для проверки можно посмотреть распределение наклонений орбит компонент двойных звезд. Они считаются от картинной плоскости.
Если есть где-то легкоусвояемая база данных по ним.

Тела Солн. системы и ИСЗ не годятся. У них плоскости неравномерно распределены.

Проверку можно произвести и другим способом. Я сейчас поищу и если быстро найду то вышлю ссылку на сайт откуда собственно я и взял эту задачу (вернее по мотивам). Там приведён численный пример причём пример считабельный.

[cross-track]

Вот нашел (правда, только на ютубе)

Смотреть с 20:30 (я так и установил, но при воспроизведении это может сбиться).
Итак, вначале вверх бросаются не диски, а длинные стержни. Спрашивается, сколько стержней будет отклонены от горизонтальной плоскости не более, чем на 1 градус, а сколько - от вертикали тоже не более, чем на 1 градус. Оказывается, что "почти горизонтальных" в 114 раз больше, чем "почти вертикальных"! Для дисков - то же отношение, но наоборот - "почти вертикальных" в 114 раз больше, чем "почти горизонтальных". Я это число не проверял, завтра, если будет время, посчитаю.

[cross-track]

это надо определить закон распределения монет по "наклонениям" - углам отн. гориз. плоскости.

рандомально по всем направлениям

[Олег]

Для дисков - то же отношение, но наоборот

Потому что стержень можно рассматривать как ось диска.

[Олег]

Кстати, про число в 114 раз больше ± 1 градус , и т.д.
Можно рассмотреть такой опыт. Равномерное распределение стержней - геоцентрических радиус-векторов по сфере .
Распределение долгот ( или прямых восхождений ) - равномерное от 0 до 360 ( или от-180 до 180).
Распределение широт ( или склонений ) - неравномерное ( пропорционально косинусу ), то есть более вероятно ближе к экватору чем к полюсу.

Можно сравнить площади -
1) 89..90 гр. - это круг радиусом 1 градус ( на Земле ~110 км)
2) 0..1 гр. - полоса вдоль экватора шириной 1 градус.
Площадь 2 больше площади 1 в 114.6 раз.

[ExDi]

Я решал не через степени свободы, а через объемы сферических секторов, и рассматривал распределение осей дисков по сфере.

по-моему, достаточно рассмотреть плоский случай; монету, ось вращения которой  лежит в плоскости ZoX под углом альфа к XoY (любая другая плоскость для другого направления X равноценна/равновероятна). у меня получилось, что преобладание проекции монеты на горизонтальную плоскость реализуется с вероятностью
Вы не можете просматривать это вложение.
- т.е. действительно заметно меньше чем из общих соображений о степенях свободы - чем я слегка обескуражен : ). вроде бы все три плоскости равноценны, и сумма вероятностей того, что наибольшая проекция монеты принадлежит одной из них, должна давать единицу.
upd - а, да, монета находясь в плоскости (1,1,1) сразу из всех базовых плоскостей выходит почти на 55 градусов, я же при данном расчете брал критерием границы "скорее горизонтальности"  45 градусов, но тогда монета в некотором диапазоне положений будет считаться вышедшей из всех плоскостей; т.е. точный ответ зависит от того как определяется этот критерий

[Олег]

S(89..90)/S(0..1) = 114.6
S(45..90)/S(0..45) = 2.41

[cross-track]

S(89..90)/S(0..1) = 114.6
S(45..90)/S(0..45) = 2.41

Это, конечно, правильно. Я брал не площади сферических сегментов, а объемы сферических секторов, Но это даёт тот же результат, ибо при вычислении отношений все постоянные коэффициенты сокращаются.
Лучше работать с площадями, но я брал объём шара постоянного радиуса больше для наглядности. И, возможно, с перспективой рассмотреть стержни разной длины)