Вероятности событий

[Старый]

1/2

А вот вероятность того, что у Мэри родятся два сына, равна 1/4. Так может, ответ 1/4?

Нет. 

[Старый]

будет одинаковый ответ?

Да. 

[cross-track]

Я помню утверждение, что сколько не бросай монетку, вероятность появления орла или решки равна 1/2 независимо от предыдущего результата. Сколько бы детей не было и в какой бы день они не родились, вероятность того, что следующий ребенок будет мальчиком (или девочкой), равна 1/2. На то он и пол ("половина").

Давайте я переформулирую задачи, чтобы не было недомолвок.

У Мэри 2 детей. Она сказала, что один из детей - сын. Какова вероятность, что другой ребенок - дочь?

У Мэри 2 детей. Она сказала, что один из детей - сын. Какова вероятность, что другой ребенок - тоже сын?

В прежней формулировке было написано "второй ребенок", и это можно трактовать по-разному, в том числе, что второй ребенок младше (хотя это совсем не предполагалось). Предполагалась обычная трактовка - один ребенок - мальчик, а второй - девочка (или снова мальчик), вне зависимости от их возраста (вы, кстати, тоже написали, что нет зависимости от того, в какой день они рождались, так что вы поняли условие правильно, если не акцентироваться на том, что это "следующий ребенок").
Так какой ответ для этих двух задач? Будет ли вероятность одинаковой?

[Ed Sch]

Я помню утверждение, что сколько не бросай монетку, вероятность появления орла или решки равна 1/2 независимо от предыдущего результата. Сколько бы детей не было и в какой бы день они не родились, вероятность того, что следующий ребенок будет мальчиком (или девочкой), равна 1/2. На то он и пол ("половина").

Вероятность рождения девочки - порядка 0,488. Природа так устроена.

[cross-track]

Я помню утверждение, что сколько не бросай монетку, вероятность появления орла или решки равна 1/2 независимо от предыдущего результата. Сколько бы детей не было и в какой бы день они не родились, вероятность того, что следующий ребенок будет мальчиком (или девочкой), равна 1/2. На то он и пол ("половина").

Вероятность рождения девочки - порядка 0,488. Природа так устроена.

Не, но мы же не про реальную статистику говорим, а про идеальную вероятность 1/2 рождения девочек и мальчиков.

[cross-track]

будет одинаковый ответ?

Да.

После комментария к условию задачи ответ не поменяется?

[Водитель]

будет одинаковый ответ?

Да.

После комментария к условию задачи ответ не поменяется?

Нет.

Даже если у Мэри уже 7 сыновей, восьмой ребенок будет мальчикам или девочкой с вероятностью 1/2.

Чтобы усложнить задачу, вопрос должен быть другим, например:

У Мэри уже есть сын. Родился во вторник. Какова вероятность, что у Мэри родятся ещё 3 сына и одна дочь, и все в разные дни недели. Дочь родится не последней.

[cross-track]

будет одинаковый ответ?

Да.

После комментария к условию задачи ответ не поменяется?

Нет.

Даже если у Мэри уже 7 сыновей, восьмой ребенок будет мальчикам или девочкой с вероятностью 1/2.

Я сегодня дал комментарий к условию задачи, чтобы не было недомолвок. Поэтому условие "если у Мэри уже 7 сыновей" - это совсем другая задача. Еще раз уточню, что в представленных выше задачах говорится, что у Мэри есть сын, но без уточнения, что уже есть сын. Сын может быть младшим или старшим, каким угодно, я сегодня специально это уточнил. Мне нужно было с самого начала написать "другой ребенок", а не "второй ребенок", и тогда никаких уточнений бы не понадобилось. Это, конечно, мой просчет, надо быть внимательнее с формулировками.

[Дем]

Я помню утверждение, что сколько не бросай монетку, вероятность появления орла или решки равна 1/2 независимо от предыдущего результата. Сколько бы детей не было и в какой бы день они не родились, вероятность того, что следующий ребенок будет мальчиком (или девочкой), равна 1/2. На то он и пол ("половина").

Для детей вероятность не строго 1/2, Y-сперматозоиды легче и быстрее
Плюс есть некая вероятность рождения близнецов (~0.5%).
А вот при чём тут вторник - совершенно непонятно.

[cross-track]

Я помню утверждение, что сколько не бросай монетку, вероятность появления орла или решки равна 1/2 независимо от предыдущего результата. Сколько бы детей не было и в какой бы день они не родились, вероятность того, что следующий ребенок будет мальчиком (или девочкой), равна 1/2. На то он и пол ("половина").

Для детей вероятность не строго 1/2, Y-сперматозоиды легче и быстрее
Плюс есть некая вероятность рождения близнецов (~0.5%).
А вот при чём тут вторник - совершенно непонятно.

Именно в том и красота этой задачи, чтобы сделать как можно более непонятным и парадоксальным условие). Эта задача обсуждалась на многих платформах и вызвала бурное обсуждение. Я потом опубликую видео, где об этом говорится.

[Водитель]

будет одинаковый ответ?

Да.

После комментария к условию задачи ответ не поменяется?

Нет.

Даже если у Мэри уже 7 сыновей, восьмой ребенок будет мальчикам или девочкой с вероятностью 1/2.

Я сегодня дал комментарий к условию задачи, чтобы не было недомолвок. Поэтому условие "если у Мэри уже 7 сыновей" - это совсем другая задача. Еще раз уточню, что в представленных выше задачах говорится, что у Мэри есть сын, но без уточнения, что уже есть сын. Сын может быть младшим или старшим, каким угодно, я сегодня специально это уточнил. Мне нужно было с самого начала написать "другой ребенок", а не "второй ребенок", и тогда никаких уточнений бы не понадобилось. Это, конечно, мой просчет, надо быть внимательнее с формулировками.

В таких формулировках это не меняет ситуации. Обе формулировки можно интерпретировать так, что оценивается вероятность пола другого/второго/следующего ребенка. А это как с монеткой и кубиком будет вероятность этого конкретного события. 

Нужно выбирать другую формулировку, которая бы однозначно указывала на оценку вероятности нескольких событий. Два подряд сына скажем.

[ExDi]

-естественно, (подразумевается что) на вероятность рождения следующего ребенка пол предыдущего никак не влияет, и в целом мальчиков и девочек поровну;
-если берём семьи, в которых 2 ребенка, то возможны равновероятные комбинации (по последовательности рождения) м-м, м-ж, ж-м, ж-ж, итого в четверти семей два мальчика, еще в четверти две девочки, в половине - разнополые дети.
- но (явно или неявно обозначенное) условие "один из детей -мальчик" заставляет выкинуть из множества "двое детей" все сочетания ж-ж, , т.е. на две разнополые семьи м-ж, ж-м в этой выборке приходится одна однополая м-м, вероятность разнополой семьи в ней 2/3.
- условие "мальчик родился во вторник" для разнополых семей отсеивает 6/7, оставляет 1/7, но для однополых семей м-м вероятность рождения мальчика в определенный день выше, так как во вторник мог родиться как первый, так и второй ребенок.
- далее остается только аккуратно посчитать вероятности с учетом того, что надо не складывать их для м-м, а перемножать обратные вероятности (иначе в семье где 8 сыновей вероятность рождения одного из мальчиков во вторник станет больше 1)

по-моему формулировка задачи была вполне прозрачна и корректна, по крайней мере у меня не возникло никаких сомнений и разночтений

[Водитель]

-естественно, (подразумевается что) на вероятность рождения следующего ребенка пол предыдущего никак не влияет, и в целом мальчиков и девочек поровну;
-если берём семьи, в которых 2 ребенка, то возможны равновероятные комбинации (по последовательности рождения) м-м, м-ж, ж-м, ж-ж, итого в четверти семей два мальчика, еще в четверти две девочки, в половине - разнополые дети.
- но условие "один из детей -мальчик" заставляет выкинуть из множества "двое детей" все сочетания ж-ж, , т е. на две разнополые семьи м-ж, ж-м в этой выборке приходится одна однополая м-м, вероятность разнополой семьи в ней 2/3.
- условие "мальчик родился во вторник" для разнополых семей отсеивает 6/7, оставляет 1/7, но для однополых семей где м-м вероятность выше, так как во вторник мог родиться как первый, так и второй ребенок.
- далее остается только аккуратно посчитать вероятности с учетом того, что надо не складывать их для м-м, а перемножать обратные вероятности (иначе в семье где 8 сыновей вероятность рождения одного ребенка во вторник станет больше 1)

Из условия задачи

Если известно, что в семье двое детей, и по крайней мере один из детей — мальчик, родившийся во вторник, какова вероятность того, что второй ребенок будет девочкой?

Этого не следует.

Задачу по прежнему можно интерпретировать, что речь идет только об оценке вероятности пола одного ребенка. Тогда ответ 1/2 по прежнему релевантен.

Надо как то яснее указать, что речь идет о множестве вероятностей (семья в целом, как у вас). А до того 1/2 тоже ответ

[cross-track]

-естественно, (подразумевается что) на вероятность рождения следующего ребенка пол предыдущего никак не влияет, и в целом мальчиков и девочек поровну;
-если берём семьи, в которых 2 ребенка, то возможны равновероятные комбинации (по последовательности рождения) м-м, м-ж, ж-м, ж-ж, итого в четверти семей два мальчика, еще в четверти две девочки, в половине - разнополые дети.
- но условие "один из детей -мальчик" заставляет выкинуть из множества "двое детей" все сочетания ж-ж, , т е. на две разнополые семьи м-ж, ж-м в этой выборке приходится одна однополая м-м, вероятность разнополой семьи в ней 2/3.

И наоборот если по условию задачи другой ребёнок тоже мальчик, то в выборке из трёх независимых пар остаётся именно одна однополая пара мальчик-мальчик с вероятностью 1/3. То есть в этих двух задачах, казалось бы, совершенно одинаковых, вероятности разные. В случае если другой ребёнок девочка, то вероятность 2/3, а если другой ребёнок мальчик, то вероятность 1/3.

[cross-track]

-естественно, (подразумевается что) на вероятность рождения следующего ребенка пол предыдущего никак не влияет, и в целом мальчиков и девочек поровну;
-если берём семьи, в которых 2 ребенка, то возможны равновероятные комбинации (по последовательности рождения) м-м, м-ж, ж-м, ж-ж, итого в четверти семей два мальчика, еще в четверти две девочки, в половине - разнополые дети.
- но условие "один из детей -мальчик" заставляет выкинуть из множества "двое детей" все сочетания ж-ж, , т е. на две разнополые семьи м-ж, ж-м в этой выборке приходится одна однополая м-м, вероятность разнополой семьи в ней 2/3.
- условие "мальчик родился во вторник" для разнополых семей отсеивает 6/7, оставляет 1/7, но для однополых семей где м-м вероятность выше, так как во вторник мог родиться как первый, так и второй ребенок.
- далее остается только аккуратно посчитать вероятности с учетом того, что надо не складывать их для м-м, а перемножать обратные вероятности (иначе в семье где 8 сыновей вероятность рождения одного ребенка во вторник станет больше 1)

Из условия задачи

Если известно, что в семье двое детей, и по крайней мере один из детей — мальчик, родившийся во вторник, какова вероятность того, что второй ребенок будет девочкой?

Этого не следует.

Задачу по прежнему можно интерпретировать, что речь идет только об оценке вероятности пола одного ребенка. Тогда ответ 1/2 по прежнему релевантен.

Я же поправил, не второй ребёнок а другой ребёнок. Это другой ребёнок мог быть как старшим так и младшим. И тогда ответ не 1/2.

[Водитель]

-естественно, (подразумевается что) на вероятность рождения следующего ребенка пол предыдущего никак не влияет, и в целом мальчиков и девочек поровну;
-если берём семьи, в которых 2 ребенка, то возможны равновероятные комбинации (по последовательности рождения) м-м, м-ж, ж-м, ж-ж, итого в четверти семей два мальчика, еще в четверти две девочки, в половине - разнополые дети.
- но условие "один из детей -мальчик" заставляет выкинуть из множества "двое детей" все сочетания ж-ж, , т е. на две разнополые семьи м-ж, ж-м в этой выборке приходится одна однополая м-м, вероятность разнополой семьи в ней 2/3.
- условие "мальчик родился во вторник" для разнополых семей отсеивает 6/7, оставляет 1/7, но для однополых семей где м-м вероятность выше, так как во вторник мог родиться как первый, так и второй ребенок.
- далее остается только аккуратно посчитать вероятности с учетом того, что надо не складывать их для м-м, а перемножать обратные вероятности (иначе в семье где 8 сыновей вероятность рождения одного ребенка во вторник станет больше 1)

Из условия задачи

Если известно, что в семье двое детей, и по крайней мере один из детей — мальчик, родившийся во вторник, какова вероятность того, что второй ребенок будет девочкой?

Этого не следует.

Задачу по прежнему можно интерпретировать, что речь идет только об оценке вероятности пола одного ребенка. Тогда ответ 1/2 по прежнему релевантен.

Я же поправил, не второй ребёнок а другой ребёнок. Это другой ребёнок мог быть как старшим так и младшим. И тогда ответ не 1/2.

Не важно. Сама формулировка позволяет сводить вопрос к одному ребенку.

[Дем]

- но условие "один из детей -мальчик" заставляет выкинуть из множества "двое детей" все сочетания ж-ж, , т е. на две разнополые семьи м-ж, ж-м в этой выборке приходится одна однополая м-м, вероятность разнополой семьи в ней 2/3.

+

- условие "мальчик родился во вторник" для разнополых семей отсеивает 6/7, оставляет 1/7, но для однополых семей где м-м вероятность выше, так как во вторник мог родиться как первый, так и второй ребенок.

-
Нас интересуют только вероятности ж-м и м-ж, что там в м-м и ж-ж нам неинтересно.
(а вероятность у м-м выше 1/7 именно за счёт ж-ж, в которых она строго 0)

[ExDi]

Нас интересуют только вероятности ж-м и м-ж, что там в м-м и ж-ж нам неинтересно.
(а вероятность у м-м выше 1/7 именно за счёт ж-ж, в которых она строго 0)

конечно же мм выбрасывать нельзя, ибо рассматривается множество всех-любых двудетных семей, в которых есть (хотя бы один) мальчик родившийся во вторник, и вопрос ставится о доле среди таких семей разнополых детей, т.е. о соотношении
вт*мж/(вт*мж + вт*мм) (умножение естественно логическое), мм присутствует в знаменателе

[Дем]

конечно же мм выбрасывать нельзя, ибо вопрос ставится именно о соотношении 
вт*мж/(вт*мж + вт*мм) (умножение естественно логическое), мм присутствует в знаменателе

А давай в обратном порядке считать - сначала вероятности каждого варианта мм/мж/жм/жж в которых мальчик родился в понедельник, и только потом отделим те в которых девочка.

[cross-track]

Не важно. Сама формулировка позволяет сводить вопрос к одному ребенку

Не, не позволяет свести к одному ребёнку. Это же задача на условную вероятность, и условие заданного пола одного ребёнка необходимо учесть при решении этой задачи. Поэтому необходимо рассматривать пол двух детей, то есть распределение этих полов. Именно поэтому уважаемый ExDi рассмотрел возможные пары ММ, МД, ДМ, ДД, где первая буква означает рождение первого ребёнка а вторая буква рождение второго ребёнка. По условию задачи мы знаем что у Мэри один ребёнок - мальчик, но мы не знаем как мальчик родился - до другого ребёнка, или после. Поэтому мы должны рассмотреть все возможные варианты. И всех вариантов четыре. Но из этих четырёх вариантов по условию задачи один никогда не реализуется, то есть не реализуется вариант ДД, потому что по условию один ребёнок - это мальчик. Таким образом, в задачах с условной вероятностью нельзя рассматривать только одного ребёнка. Иначе как учесть эту условную вероятность?