"Марс - Орбитальная"

[X]

Ballistician, а вы реальные траектории считаете? А для ионников можете? Меня вот что интересует: когда считают разгон на ЭРД около Земли, куда вектор тяги направляют?

Если речь идет о выходе из сферы действия Земли, то основных вариантов 3 (по убыванию оптимальности): оптимальная программа (по Понтрягину), по касательной (по вектору орбитальной скорости), по трансверсали. При раскрутке с постоянно работающим ЭРД с круговой орбиты разница между этими способами не очень большая. По В.Н. Лебедеву (Расчет движения КА с малой тягой. ВЦ АН СССР, М., 1968), разница во времени раскрутки при перечисленных программах управления - в пределах нескольких процентов.
Но это, повторяю, при раскрутке без выключения ЭРДУ с круговой орбиты.

Для расчета межорбитальных перелетов между эллиптическими и/или некомпланарными орбитами лучше всего использовать принцип максимума, иначе можно сильно промахнуться в оценках.

[V.B.]

При реальном расчете, насколько я понимаю, все эти безобразия в виде некомпланарности и эллиптичности орбит неизбежны. Опорная орбита обычно имеет наклонение около 50 градусов, поэтому нужно менять плоскость. В тени двигатели придется выключать - вылезет эллиптичность. Кроме того, с удалением от Земли всё больше начинает влиять Луна. Принцип максимума (не знаю, что это такое) сможет со всем этим справиться? Или не мучаются особо, а просто считают несколько вариантов и выбирают лучший? Всё равно ведь, если даже удастся найти оптимальную траекторию, в жизни будет всё по-другому

Причем это всё проблемы раскрутки, а скрутка, по-моему, еще на порядок сложнее. Может, при расчете скрутки обращают время, т.е. считают аналогично раскрутке, но с "приходом" РТ вместо расхода? Потом эти траектории (раскрученную около одной планеты и обратную скрученной около другой) нужно сшить где-то между планетами, но это наверное проще, чем считать скрутку.

[X]

При реальном расчете, насколько я понимаю, все эти безобразия в виде некомпланарности и эллиптичности орбит неизбежны. Опорная орбита обычно имеет наклонение около 50 градусов, поэтому нужно менять плоскость. В тени двигатели придется выключать - вылезет эллиптичность. Кроме того, с удалением от Земли всё больше начинает влиять Луна. Принцип максимума (не знаю, что это такое) сможет со всем этим справиться? Или не мучаются особо, а просто считают несколько вариантов и выбирают лучший? Всё равно ведь, если даже удастся найти оптимальную траекторию, в жизни будет всё по-другому

Причем это всё проблемы раскрутки, а скрутка, по-моему, еще на порядок сложнее. Может, при расчете скрутки обращают время, т.е. считают аналогично раскрутке, но с "приходом" РТ вместо расхода? Потом эти траектории (раскрученную около одной планеты и обратную скрученной около другой) нужно сшить где-то между планетами, но это наверное проще, чем считать скрутку.

1. Зачем менять наклонение при расрутке на отлетную траекторию? Этого делать категорически не надо, потому как только лишняя трата топлива. Требуется обеспечить заданное значение склонения условной точки выхода из грависферы Земли. Для полетов к объектам, движущимся вблизи эклиптики, требуемые углы склонения не очень большие и заведомо могут быть обеспечены при наклонении орбиты 51.6 градусов выбором подходящего значения аргумента перигея конечной (отлетной) орбиты.

2. Я говорил о начальной круговой орбите. Да, за счет выключения ЭРДУ в тени и лунно-солнечных возмущений орбита деформируется. Однако, основная причина векового изменения эксцентриситета - сама реактивная тяга. Например, при раскрутке с трансверсальной тягой средний за виток эксцентриситет сначала убывает, а потом начинает возрастать, достигая значения e>=1 на отлетной траектории.

3. Оценки показывают, что влияние теневых участков не очень существенно. У меня нет под рукой данных для отлетных траекторий, но для выведения на ГСО с Байконура/Плесецка для любой даты старта выбором долготы восх. узла (времени старта) можно добиться, чтобы время выведения за счет теневых участков увеличивалось не более чем на ~1%, а требуемое топливо - на доли %.
Влияние Луны и Солнца при выведении на ГСО еще меньше. Конечно, на отлетной траектории можно организовать гравитационный маневр у Луны, это даст некоторый эффект.

4. Принцип максимума - это развитие классического вариационного исчисления, а попросту - метод, позволяющий свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием необходимых условий оптимальности. Решать такую краевую задачу трудно, особенно для многовитковых траекторий КА с ЭРДУ. Но это - особая песня.

5. На практике что только не делают. В том числе, некоторые подбирают управление вручную. Прием обращения времени для расчета скрутки тоже используют.

6. "Сшивка" планетоцентрических и гелиоцентрического участков - обычное дело. Для проектного анализа хорошие результаты дает метод грависфер нулевой приближенности.

[X]

Пардон, метод грависфер нулевой протяженности, оговорился.

[ratman]

Вот специально, чтобы быстро отвечать на такие вопросы, я ОrbitalModel и сделал:
http://www.geocities.com/levinkirill/SpaceModel/rus/

Поначалу может быть немножко сложно пользоваться, но зато если привыкнуть, то должно быть довольно удобно - как-никак для себя старался

[ratman]

3. Оценки показывают, что влияние теневых участков не очень существенно. У меня нет под рукой данных для отлетных траекторий, но для выведения на ГСО с Байконура/Плесецка для любой даты старта выбором долготы восх. узла (времени старта) можно добиться, чтобы время выведения за счет теневых участков увеличивалось не более чем на ~1%, а требуемое топливо - на доли %.

Хм. Давно это было, но по-моему, теневые участки  даже помогают. По  топливу точно - так как орбита вытягивается, а разгон осуществляется на низкой части орбиты, то получается экономия по хс.

Насчет времени не врать не буду - специально не проверял, но если окажется, что время тоже можно сэкономить за счет более эллиптической орбиты - не удивлюсь ни капли...

Решать такую краевую задачу трудно, особенно для многовитковых траекторий КА с ЭРДУ. Но это - особая песня.

Это да, песня действительно особая - я в свое всемя пытался что-то наскрести по вопросу, но толком ничего не нашел. А самому лень было теорию городить... Вы не знаете приличного линка по теме ?

[frost_ii]

Я, конечно, не баллистик, но что-то сомнения меня одолевают. Что это за тень такая?

Во-первых, при больших мощностях ЭРД можно использовать реактор.
Во-вторых - задача трёхмерная. Даже находясь за Землёй, можно в тень и не попасть, особенно на большом удалении. Особенно если учесть наклонение 50 градусов.

Возможно, я что-то недопонял? Тогда прошу не обижаться.

[ratman]

Во-первых, при больших мощностях ЭРД можно использовать реактор.

Можно. Но это будет уже другая задача

Во-вторых - задача трёхмерная. Даже находясь за Землёй, можно в тень и не попасть, особенно на большом удалении. Особенно если учесть наклонение 50 градусов.

Совершенно правильно. Но пока орбита низкая, она успеет стать довольно эллиптической...

На самом деле, повторюсь, в тени ничего особенно плохого нет. Потери времени не такие большие, по топливу выигрыш. Единственный негатив - это то, что постоянно приходится включать/выключать движки.

[X]

3. Оценки показывают, что влияние теневых участков не очень существенно. У меня нет под рукой данных для отлетных траекторий, но для выведения на ГСО с Байконура/Плесецка для любой даты старта выбором долготы восх. узла (времени старта) можно добиться, чтобы время выведения за счет теневых участков увеличивалось не более чем на ~1%, а требуемое топливо - на доли %.

Хм. Давно это было, но по-моему, теневые участки  даже помогают. По  топливу точно - так как орбита вытягивается, а разгон осуществляется на низкой части орбиты, то получается экономия по хс.

Насчет времени не врать не буду - специально не проверял, но если окажется, что время тоже можно сэкономить за счет более эллиптической орбиты - не удивлюсь ни капли...

Решать такую краевую задачу трудно, особенно для многовитковых траекторий КА с ЭРДУ. Но это - особая песня.

Это да, песня действительно особая - я в свое всемя пытался что-то наскрести по вопросу, но толком ничего не нашел. А самому лень было теорию городить... Вы не знаете приличного линка по теме ?

Теневые участки не могут помогать экономить топливо на оптимальной траектории - это логическое недоразумение. Действительно, вытянуть орбиту всегда можно простым выключением ЭРД в нужном месте. Тень здесь не причем. Она, как раз, при длительных перелетах обязательно вылезает где-нибудь в ненужном месте. Тень может помочь, если вы используете какой-либо заранее заданный закон управления вектором тяги. При проведении оптимизации затраты топлива на траектории, рассчитанной без учета влияния тени, ВСЕГДА меньше или равны затратам топлива на траектории, рассчитанной с учетом ее влияния. Просто при учете тени появляются  дополнительные ограничения на управление, а это приводит к снижению качества управления.

Ссылки - пожалуйста:

Классика, межорбитальные перелеты, оптимизация с численным осреднением (задачи на быстродействие):
L.L. Sackett, H.L. Malchow, T.N. Edelbaum. Solar Electric Geocentric Transfer With Attitude Constraints: Analysis. NASA CR-134927, 1975. (http://trajectory.grc.nasa.gov/Tools/sepspot.shtml, http://trajectory.grc.nasa.gov/Tools/SEPSPOT/CR-134927V1.pdf, http://trajectory.grc.nasa.gov/Tools/SEPSPOT/CR-134927V2.pdf, http://trajectory.grc.nasa.gov/Tools/SEPSPOT/sepspot_inputs.doc)

Оптимальное быстродействие с осреднением, французский вариант
J. Fourcade, S. Geffroy, R.Epenoy. An Averaging Optimal Control Tool for Low-Thrust Optimum-Time Transfers (http://logiciels.cnes.fr/MIPELEC/en/logiciel.htm)

Оптимальное быстродействие, неосредненная задача
J.B. Caillau, J. Gergaud, J. Noailles. 3D Geosynchronous Transfer of a Satellite: Continuation on the Thrust. 2001 (http://www.enseeiht.fr/~caillau/papers/jota01.pdf)

Оптимальное быстродействие с осреднением, русский вариант + таблицы для интерполяции
V. Petukhov, M. Konstantinov. Spacecraft Insertion into High Working Orbit Using Light-Class Launcher and Electric Propulsion. ISSFD-17, М., 2003. (http://issfd.kiam1.rssi.ru/abstracts/p16_3.pdf)

Идеально-регулируемый ЭРД: межпланетные траектории, перелет к Луне.
ЭРД с пост. скоростью истечения: быстродействие с осреднением
В. Петухов. Оптимизация траекторий с малой тягой. М., ИКИ РАН, 2000. (http://arc.iki.rssi.ru/seminar/200006/OLTTR2.ppt)

Оптимальное быстродействие с осреднением
Задача на минимум затрат топлива с осреднением.
V. Petukhov. Optimal Multirevolutional Transfers between Non-Coplanar Elliptical Orbits. Proceedings of International Symposium on Low Thrust Trajectories (LOTUS-2), Toulouse, France, 2002


Обзор методов оптимизации траекторий с малой тягой.
Оптимальное быстродействие с осреднением
Задача на минимум затрат топлива с осреднением.
V. Petukhov. Low-Thrust Trajectory Optimization in Russia. Presentation at the ESA/ESTEC Workshop on Trajectory Design and Optimisation, Noordwijk, The Netherlands, 2002 (http://www.esa.int/gsp/ACT/Presentations/Petukhov/petukhov.ppt - URL устарел, надо искать где-то на сайте ACT - Advanced Concepts Team)

Оптимизация траектории раскрутки SMART-1. Был на каком-то сайте ESA.
J.L. Cano, J. Schoenmaekers, R. Jehn, M. Hechler. SMART-1 Mission Analysis: Collection of Notes on the Moon Mission. S1-ESC-RP-5004, 1999.

Кроме того, в 2004 г. в "Космических исследованиях" должны выйти статьи Р.З. Ахметшина (неосредненная многовитковая задача на быстродействие) и В.Г. Петухова (осредненные задачи на быстродействие и минимум затрат топлива).

Кроме того,

Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. Проблемы оптимизации М.: Наука, 1975.

Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

Захаров Ю.А. Проектирование межорбитальных космических аппаратов. Выбор траекторий и проектных параметров. М.:Машиностроение, 1984.

Гришин С.Д., Захаров Ю.А., Оделевский В.К.. Проектирование космических аппаратов с двигателями малой тяги. М.:Машиностроение, 1990.

Салмин В.В. Оптимизация космических перелетов с малой тягой. М.:Машиностроение, 1987.

и т.д.

Это для начала. Бумаги и прочих носителей по этому поводу изведено немало.

[ratman]

Теневые участки не могут помогать экономить топливо на оптимальной траектории - это логическое недоразумение. Действительно, вытянуть орбиту всегда можно простым выключением ЭРД в нужном месте. Тень здесь не причем. Она, как раз, при длительных перелетах обязательно вылезает где-нибудь в ненужном месте. Тень может помочь, если вы используете какой-либо заранее заданный закон управления вектором тяги. При проведении оптимизации затраты топлива на траектории, рассчитанной без учета влияния тени, ВСЕГДА меньше или равны затратам топлива на траектории, рассчитанной с учетом ее влияния. Просто при учете тени появляются  дополнительные ограничения на управление, а это приводит к снижению качества управления.

Громадное спасибо за ссылки.

По поводу тени - мы просто друг друга не поняли. Ваши комментарии выше, безусловно правильны. Я имел в виду гораздо более простой факт: траектория, которая получится под влиянием тени, более экономична, чем спираль, которая получилась бы, если бы тени не было и двигатель работал все время.

Иными словами, если накладывать условие минимальности по времени, то наличие тени приведет к траектории, требующей меньше дельта V, чем если бы тени не было.

Вообще, понятно, что требование оптимальности траектории при отсутствии ограничений на время смысла не имеет, так как сводится в пределе к гомановскому переходу (с точностью до нюансов, связанных с возмущениями).

Еще раз спасибо за ссылки

[V.B.]

Ballistician-у:
Спасибо за ответы.
А среди приведенных вами ссылок какие-нибудь можно использовать для расчета межпланетных перелетов? А то там в основном про межорбитальные перелеты и про Луну, как мне показалось... Точнее, хотелось бы узнать вот что: сможет ли человек уровня обычного студента рассчитать в первом приближении полет к Марсу и обратно на малой тяге? Не вдаваясь в задачу оптимизации и учет всех факторов, но чтобы траектория была похожа на настояющую: с раскрутками, скрутками, сшивками...

[ratman]

сможет ли человек уровня обычного студента рассчитать в первом приближении полет к Марсу и обратно на малой тяге? Не вдаваясь в задачу оптимизации и учет всех факторов, но чтобы траектория была похожа на настояющую: с раскрутками, скрутками, сшивками...

Численно - может. И даже довольно точно.

Могу, кстати, подсказать довольно полезную формулу:
1. пусть осуществляется спиральный переход с одной круговой орбиты на другую
2. пусть круговые скорости на этих орбитах соответственно V1 и V2
3. тогда для перехода требуется   дельта V = V1-V2

Формула справедлива в пределе бесконечно малой тяги (бесконечно пологой спирали).
Численная проверка показывает, что она превосходно работает для реальных задач.
Так что если изменение орбиты за виток не слишком большое, можете смело использовать...

[X]

сможет ли человек уровня обычного студента рассчитать в первом приближении полет к Марсу и обратно на малой тяге? Не вдаваясь в задачу оптимизации и учет всех факторов, но чтобы траектория была похожа на настояющую: с раскрутками, скрутками, сшивками...

Численно - может. И даже довольно точно.

Могу, кстати, подсказать довольно полезную формулу:
1. пусть осуществляется спиральный переход с одной круговой орбиты на другую
2. пусть круговые скорости на этих орбитах соответственно V1 и V2
3. тогда для перехода требуется   дельта V = V1-V2

Формула справедлива в пределе бесконечно малой тяги (бесконечно пологой спирали).
Численная проверка показывает, что она превосходно работает для реальных задач.
Так что если изменение орбиты за виток не слишком большое, можете смело использовать...

Ratman, совершенно прав, если говорить об очень многовитковой раскрутке в центральном поле с круговой орбиты. Кстати, отсюда следует оценка требуемой хар.скорости для раскрутки с заданной круговой орбиты на параболу: это круговая скорость на начальной орбите.

Для гелиоцентрического участка таким приближением пользоваться уже нельзя, потому что малая тяга для околоземного перелета оказывается не очень малой для гелиоцентрического (отношение ускорения от реактивной тяги к гравитационному ускорению от Солнца не является малой величиной).

Если относительная величина реактивного ускорения достаточно большая, можно использовать 2-химпульсное решение в качестве грубой оценки гелиоцентрического участка. Только после определения импульсов скорости, следует оценить угловые дальности активных участков. Если они невелики, скажем в пределах 20 градусов, то импульсное приближение - сносное.

Простого рецепта для случая, когда активные участки имеют большую угловую дальность, к сожалению, нет. В этом случае надо решать честную краевую задачу (если цель - выйти на орбиту вокруг планеты цели, то краевые условия на правом конце гелиоцентрического участка: равенство векторов положения и скорости КА векторам положения и скорости планеты).

Если задача - пролет, гравманевр, облет (если не надо гасить скорость относительно планеты) то можно поступить проще: берете в качестве начальных условий для КА на гелиоцентрическом участке (т.е. после раскрутки) положение и скорость Земли, задаете касательное ускорение, и интегрируете уравнения плоского движения до тех пор, пока оскулирующий радиус афелия не станет равным радиусу орбиты планеты цели. Вы получите оценку затрат хар.скорости для реализации пролета планеты. После этого интегрируете до афелия или по Кеплеру считаете продолжительность перелета от момента выключения ДУ до прохождения афелия, складываете с продолжительностью активного участка, и получаете оценку продолжительности перелета.

[ratman]

Кстати, отсюда следует оценка требуемой хар.скорости для раскрутки с заданной круговой орбиты на параболу: это круговая скорость на начальной орбите.

Да, это оценка, хотя и не очень хорошая: процентов на 15% расхождение с реальной хс. А вот для круговых орбит типа ГСО или лунной - точность около 1-2%...

Для гелиоцентрического участка таким приближением пользоваться уже нельзя, потому что малая тяга для околоземного перелета оказывается не очень малой для гелиоцентрического (отношение ускорения от реактивной тяги к гравитационному ускорению от Солнца не является малой величиной).

Не совсем согласен. Рассмотрим такой сценарий:

Чтобы выкарабкаться из гравитационного поля Земли на малой тяге нужна хс около 6.5 км/с. Чтобы после этого долететь до орбиты Марса - минимум 2.5 км/с. Если считать, что гелиоцентрический участок займет 7-8 месяцев (грубо), то при той же тяге околоземный разгон займет где-то в три раза больше - то есть около двух лет. Для груза - вполне реальный расклад. То же самое можно делать с тяжелым пилотируемым кораблем: а экипаж забросить в капсуле когда корабль уже будет близок к отрыву от Земли.

В этом сценарии тяга является малой на обоих участках: геоцентрическом и гелиоцентрическом.

Тем, кто все-таки захочет считать траекторию малой тяги, могу только еще раз посоветовать: считайте численно Будет проще, быстрее и точнее

[Streamflow]

Кстати, отсюда следует оценка требуемой хар.скорости для раскрутки с заданной круговой орбиты на параболу: это круговая скорость на начальной орбите.

Да, это оценка, хотя и не очень хорошая: процентов на 15% расхождение с реальной хс. А вот для круговых орбит типа ГСО или лунной - точность около 1-2%...

Не знаю, почему Вы все никак не хотите сослаться на
http://www.synerjetics.ru/article/sm_trust.htm  :roll:

[X]

Кстати, отсюда следует оценка требуемой хар.скорости для раскрутки с заданной круговой орбиты на параболу: это круговая скорость на начальной орбите.

Да, это оценка, хотя и не очень хорошая: процентов на 15% расхождение с реальной хс. А вот для круговых орбит типа ГСО или лунной - точность около 1-2%...

Ratman, по-моему Вы вводите общественность в заблуждение.

Численный пример - разгон с постоянной касательной тягой КА нач.массой 700 кг с уд.импульсом ЭРДУ 1500 или 7000 сек. с нач.круговой орбиты высотой 500 км. Фактическая ошибка оценки хар.скорости в процентах dVхар = (<хар.скорость для набора параболы> - <орб.скорость на нач.круговой орбите>)/<орб.скорость на нач.круговой орбите>*100%, где <хар.скорость для набора параболы> - число, полученное численным интегрированием до набора нулевой орбитальной энергии.

Тяга, Н-----------dVхар, %
---------Iуд=1500 с---Iуд=1500 с
0.166---6.605----------6.033
0.083---5.566----------5.075
0.010---3.295----------2.993
0.001---1.859----------1.684

Если реактивное ускорение --> 0, dVхар --> 0.
Давайте не будем голословно называть цифры.

Для гелиоцентрического участка таким приближением пользоваться уже нельзя, потому что малая тяга для околоземного перелета оказывается не очень малой для гелиоцентрического (отношение ускорения от реактивной тяги к гравитационному ускорению от Солнца не является малой величиной).

Не совсем согласен. Рассмотрим такой сценарий:

Чтобы выкарабкаться из гравитационного поля Земли на малой тяге нужна хс около 6.5 км/с. Чтобы после этого долететь до орбиты Марса - минимум 2.5 км/с. Если считать, что гелиоцентрический участок займет 7-8 месяцев (грубо), то при той же тяге околоземный разгон займет где-то в три раза больше - то есть около двух лет. Для груза - вполне реальный расклад. То же самое можно делать с тяжелым пилотируемым кораблем: а экипаж забросить в капсуле когда корабль уже будет близок к отрыву от Земли.

В этом сценарии тяга является малой на обоих участках: геоцентрическом и гелиоцентрическом.

Тем, кто все-таки захочет считать траекторию малой тяги, могу только еще раз посоветовать: считайте численно Будет проще, быстрее и точнее

Тут полная неразбериха. Оценка хар.скорости на выход из грависферы Земли - произвольная. Откуда Вы взяли эти "минимум 2.5 км/с"? Чтобы в импульсе увеличить радиус афелия до среднего удаления Марса от Солнца надо 2.93 км/c (2.275-3.501 км/с для Марса в перигелия/афелии соответственно). Но с малой тягой все несколько по-другому.
Аккуратнее надо с цифрами.

Еще раз относительно оценок хар.скорости. Степень малости тяги определяется отношением реактивного ускорения к гравитационному. Например, для КА массой 700 кг с тягой 0.35 Н реактивное ускорение равно 0.5 мм/с2. На ОИСЗ высотой 500 км гравитационное ускорение от Земли 8.443 м/с2. "Тяговооруженность" КА 0.5/8443 = 0.000059 - маленькая. Элементы орбиты за виток работы двигателя меняются мало, поэтому можно использовать всяческие приближенные (асимптотические) методы и оценки. Рассмотрим тот же КА на гелиоцентрической орбите радиусом 1 а.е. Грав.ускорение от Солнца ~5.93 мм/с2 ==> "тяговооруженность" КА 0.5/5.93 = 0.084 - относительно большая. Достаточно сказать, что набор параболической относительно Солнца скорости занимает меньше витка. Поэтому здесь оценки надо проводить осторожно.

Не знаю, почему Вы все никак не хотите сослаться на
http://www.synerjetics.ru/article/sm_trust.htm

А что там сказано нового? Я предпочитаю ссылаться на первоисточники. По данному вопросу - это, например, Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой; Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой (см. выше), Ирвинг (в сб. Space Technology под редакцией Сейферта, NY,1959) и т.д.

[X]

Гость - это я (забыл войти).

[Streamflow]

Кстати, отсюда следует оценка требуемой хар.скорости для раскрутки с заданной круговой орбиты на параболу: это круговая скорость на начальной орбите.

Да, это оценка, хотя и не очень хорошая: процентов на 15% расхождение с реальной хс. А вот для круговых орбит типа ГСО или лунной - точность около 1-2%...

Ratman, по-моему Вы вводите общественность в заблуждение.
Численный пример - разгон с постоянной касательной тягой КА нач.массой 700 кг с уд.импульсом ЭРДУ 1500 или 7000 сек. с нач.круговой орбиты высотой 500 км. Фактическая ошибка оценки хар.скорости в процентах dVхар = (<хар.скорость для набора параболы> - <орб.скорость на нач.круговой орбите>)/<орб.скорость на нач.круговой орбите>*100%, где <хар.скорость для набора параболы> - число, полученное численным интегрированием до набора нулевой орбитальной энергии.

Тяга, Н-----------dVхар, %
---------Iуд=1500 с---Iуд=7000 с
0.166---6.605----------6.033
0.083---5.566----------5.075
0.010---3.295----------2.993
0.001---1.859----------1.684

Если реактивное ускорение --> 0, dVхар --> 0.
Давайте не будем голословно называть цифры.

1. Исходя из смысла процесса, я поправил у Вас заголок таблицы.
2. Цифры, называнные ratman'ом нельзя назвать голословными. Если Вы посмотрите в приводимую Вами таблицу, то увидите, что с ростом тяги (а, вернее, реактивного ускорения) погрешность довольно быстро растет. И при увеличении реактивного ускорения еще на порядок мы приблизимся к цифрам, названным ratman'ом.

Не знаю, почему Вы все никак не хотите сослаться на
http://www.synerjetics.ru/article/sm_trust.htm

А что там сказано нового? Я предпочитаю ссылаться на первоисточники. По данному вопросу - это, например, Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой; Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой (см. выше), Ирвинг (в сб. Space Technology под редакцией Сейферта, NY,1959) и т.д.

Да, может быть это и не слишком ново, как, скажем, и известное переоткрытие одним киевским сапожником дифференциального и интегрального (кажется) исчисления , зато доступно в интернете, компактно и непосредственно связано с обсуждаемым вопросом. Кроме того, именно там приведены результаты оценок, на которые по существу и ссылался ratman.

[Streamflow]

P.S. "Повторенье - мать ученья"  

[V.B.]

Численно - может. И даже довольно точно.
......................
Тем, кто все-таки захочет считать траекторию малой тяги, могу только еще раз посоветовать: считайте численно Будет проще, быстрее и точнее

Думаю, наш воображаемый "студент" будет только рад свалить решение на компьютер. Программировать он худо-бедно может. Но откуда он возьмет методику расчета? Разработает сам? Или эта методика давно опубликована и всем нормальным студентам известна?