Про экспоненту

[cross-track]

Довольно часто на форуме вспоминают экспоненту, экспоненциальный рост и тому подобное. Поэтому, думаю, будет не лишней тема с обсуждением различных свойств экспоненты.

Сейчас мне хотелось бы обсудить разложение экспоненты e^x в ряд Тейлора. Это бесконечный степенной ряд, который хорошо сходится. Вот у меня возник вопрос: если выделить из этого ряда по отдельности два ряда: один с чётными степенями Se, а другой - с нечётными степенями So, то в каком соотношении они будут находиться? Для простоты можно рассмотреть значения х=3 и больше, и рассматривать целые значение x. Будут ли эти ряды сильно отличаются друг от друга, а если да то насколько сильно? Или, может, они будут очень близки? При желании можно рассмотреть конечные ряды, не обязательно бесконечные.

[cross-track]

У меня получилась простая формула:

Se-So = 1/e(x)

Пример: x=3, e(3)=20, Se-So = 1/e(3) = 1/20 =0.05

Чем больше x, тем меньше разница между этими частичными рядами (более строго - разница между суммами этих частичных рядов). Даже для x = 3 ряды очень близки, каждый из них примерно равен 10, а их сумма 20.

[Олег]

если выделить из этого ряда по отдельности два ряда: один с чётными степенями Se, а другой - с нечётными степенями So

Гиперболические функции - ссыла

[cross-track]

если выделить из этого ряда по отдельности два ряда: один с чётными степенями Se, а другой - с нечётными степенями So

Гиперболические функции - ссыла

Да, конечно, эти два частичных ряда - это именно две гиперболические функции, а именно синус гипербореческий и косинус гиперболический. Я получил соотношение между этими рядами (суммами рядов), воспользовавшись свойством гиперболических функций:
(ch(x))^2 - (sh(x))^2 = 1