Довольно часто на форуме вспоминают экспоненту, экспоненциальный рост и тому подобное. Поэтому, думаю, будет не лишней тема с обсуждением различных свойств экспоненты.
Сейчас мне хотелось бы обсудить разложение экспоненты e^x в ряд Тейлора. Это бесконечный степенной ряд, который хорошо сходится. Вот у меня возник вопрос: если выделить из этого ряда по отдельности два ряда: один с чётными степенями Se, а другой - с нечётными степенями So, то в каком соотношении они будут находиться? Для простоты можно рассмотреть значения х=3 и больше, и рассматривать целые значение x. Будут ли эти ряды сильно отличаются друг от друга, а если да то насколько сильно? Или, может, они будут очень близки? При желании можно рассмотреть конечные ряды, не обязательно бесконечные.
У меня получилась простая формула:
Se-So = 1/e(x)
Пример: x=3, e(3)=20, Se-So = 1/e(3) = 1/20 =0.05
Чем больше x, тем меньше разница между этими частичными рядами (более строго - разница между суммами этих частичных рядов). Даже для x = 3 ряды очень близки, каждый из них примерно равен 10, а их сумма 20.
Цитата: cross-track от 23.09.2025 11:29:00если выделить из этого ряда по отдельности два ряда: один с чётными степенями Se, а другой - с нечётными степенями So
Гиперболические функции - ссыла (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8)
Цитата: Олег от 26.09.2025 04:29:56Цитата: cross-track от 23.09.2025 11:29:00если выделить из этого ряда по отдельности два ряда: один с чётными степенями Se, а другой - с нечётными степенями So
Гиперболические функции - ссыла (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8)
Да, конечно, эти два частичных ряда - это именно две гиперболические функции, а именно синус гипербореческий и косинус гиперболический. Я получил соотношение между этими рядами (суммами рядов), воспользовавшись свойством гиперболических функций:
(ch(x))^2 - (sh(x))^2 = 1